如圖，拋物線l：y=﹣x2+bx+c（b，c為常數），其頂點E在正方形ABCD內或邊上，已知點A（1，2），B...

問題詳情：

如圖，拋物線l：y=﹣x2+bx+c（b，c為常數），其頂點E在正方形ABCD內或邊上，已知點A（1，2），B（1，1），C（2，1）．

（1）直接寫出點D的座標；

（2）若l經過點B，C，求l的解析式；

（3）設l與x軸交於點M，N，當l的頂點E與點D重合時，求線段MN的值；

當頂點E在正方形ABCD內或邊上時，直接寫出線段MN的取值範圍；

（4）若l經過正方形ABCD的兩個頂點，直接寫出所有符合條件的c的值．

【回答】

【解答】解：（1）由正方形ABCD內或邊上，已知點A（1，2），B（1，1），C（2，1），得

D點的橫座標等於C點的橫座標，即D點的橫座標為2，

D點的縱座標等於A點的縱座標，即D點的縱座標為2，

D點的座標為（2，2）；

（2）把B（1，1）、C（2，1）代入解析式可得

，

解得

所以二次函數的解析式為y=﹣x2+3x﹣1；

（3）由此時頂點E的座標為（2，2），得

拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+2

把y=0代入得﹣（x﹣2）2+2=0

解得x1=2﹣，x2=2+，

即N（2+，0），M（2﹣，0），

所以MN=2+﹣（2﹣）=2．

點E的座標為B（1，1），得

拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+1

把y=0代入得﹣（x﹣1）2+1=0

解得x1=0，x2=2，

即N（2，0），M（0，0），

所以MN=2﹣0=2．

點E在線段AD上時，MN最大，

點E在線段BC上時，MN最小；

當頂點E在正方形ABCD內或邊上時，2≤MN≤2；

（4）當l經過點B，C時，二次函數的解析式為y=﹣x2+3x﹣1，

c=﹣1；

當l經過點A、D時，E點不在正方形ABCD內或邊上，故排除；

當l經過點B、D時，，解得，即c=﹣2；

當l經過點A、C時，，解得，即c=1；

綜上所述：l經過正方形ABCD的兩個頂點，所有符合條件的c的值為﹣1，1，﹣2．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題