問題詳情:
如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交於A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交於C點,點D是拋物線的頂點.
(1)求B、C、D三點的座標;
(2)連接BC,BD,CD,若點P為拋物線上一動點,設點P的橫座標為m,當S△PBC=S△BCD時,求m的值(點P不與點D重合);
(3)連接AC,將△AOC沿x軸正方向平移,設移動距離為a,當點A和點B重合時,停止運動,設運動過程中△AOC與△OBC重疊部分的面積為S,請直接寫出S與a之間的函數關係式,並寫出相應自變量a的取值範圍.
【回答】
【解答】解:(1)當y=0時,x2﹣2x﹣3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
當x=0時,y=﹣3,
∴C(0,﹣3),
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴D(1,﹣4);
(2)設BC:y=kx+b
將B(3,0),C(0,﹣3)代入得:解得,
∴直線BC為y=x﹣3,
過點D作DE∥y軸,交BC於點E,
∵xD=1=xE,
∴yE=﹣2,
∴DE=2,
∴S△BCD=S△BED+S△CDE=×2×1+×2×2=3,
過點P作PQ∥y軸,交直線BC於點Q,設P(m,m2﹣2m﹣3),Q(m,m﹣3)
①當P是BC下方拋物線上一點時,如圖1,
∴.
∴m1=﹣1(舍),m2=2,
②當P是BC上方拋物線上一點時,如圖2,
S△PBC=S△PQC﹣S△PQB=m2﹣m=3,
解得m1=,m2=,
綜上:m的值為;
(3)①當0<a≤1時,如圖3,
∵OA′=1﹣a,O′C′=OC=3,
∵=
即=,
∴AE=3﹣3a,
∴CE=3a,
∵=,
即=,
∴O′G=3﹣a,
∴GC′=a,
∵==,
∴△FC′G邊CG′上的高為a,
∴S=S△AOC﹣S△A′OE﹣S△FGC′=×1×3﹣(1﹣a)×(3﹣3a)﹣a×a=﹣a2+3a;
②當1<a≤3時,如圖4,
∵GC=a,△FC′G邊CG′上的高為a,
∴S=S△AOC﹣S△FGC′=×1×3﹣a×a=﹣a2+;
③當3<a≤4時,如圖5,
∵A′B=4﹣a,CC′=a,
設△A′FB邊A′B上的高為h,則△CFC′邊CC′的高為3﹣h,
∵△A′FB∽△C′FC,
∴=,解得h=(4﹣a),
∴S=(4﹣a)×(4﹣a)=a2﹣3a+6;
綜上,.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題