問題詳情:
如圖1,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於A(﹣1,0),B兩點,(點A在點B的左側),與直線AC交於點C(2,3),直線AC與拋物線的對稱軸l相交於點D,連接BD.
(1)求拋物線的函數表達式,並求出點D的座標;
(2)如圖2,若點M、N同時從點D出發,均以每秒1個單位長度的速度分別沿DA、DB運動,連接MN,將△DMN沿MN翻折,得到△D′MN,判斷四邊形DMD′N的形狀,並説明理由,當運動時間t為何值時,點D′恰好落在x軸上?
(3)在平面內,是否存在點P(異於A點),使得以P、B、D為頂點的三角形與△ABD相似(全等除外)?若存在,請直接寫出點P的座標,若不存在,請説明理由.
【回答】
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)先利用待定係數法求得拋物線和直線的解析式,從而得出對稱軸與直線的交點;
(2)由拋物線解析式求得點A、B座標,結合點D座標可知△ABD為等腰直角三角形,即∠DAB=∠DBA=45°、∠ADB=90°,由翻折*質得D′M=DM、DN=ND′,從而得出四邊形MDND′為菱形,根據∠MDN=90°即可得四邊形MDND′為正方形;設DM=DN=t,在Rt△D′NB中D′N=t、BN=2﹣t、BD′=2,根據勾股定理即可得出t的值;
(3)由△ABD為等腰直角三角形及△PBD與△ABD相似且不全等,知△PBD是以BD為斜邊的等腰直角三角形,結合圖形即可得*.
【解答】解:(1)將點A(﹣1,0)、C(2,3)代入y=﹣x2+bx+c,得:
,
解得:,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴拋物線的對稱軸為直線x=1,
設直線AC的函數解析式為y=kx+b,
將A(﹣1,0)、C(2,3)代入y=kx+b,得:
,
解得:,
∴直線AC的函數解析式為y=x+1,
又∵點D是直線AC與拋物線的對稱軸的交點,
∴xD=1,yD=1+1=2,
∴點D的座標為(1,2).
(2)四邊形DMD′N是正方形,理由如下:
∵拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交於A、B兩點,
∴令y=0,得﹣x2+2x+3=0,
解得:x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0)、B(3,0),
∴AD==2,BD==2,AB=1+3=4,
而AD2+BD2=AB2,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴∠DAB=∠DBA=45°,∠ADB=90°,
由翻折可知:D′M=DM、DN=ND′,
又∵DM=DN,
∴四邊形MDND′為菱形,
∵∠MDN=90°,
∴四邊形MDND′是正方形;
設DM=DN=t,當點D落在x軸上的點D′處時,
∵四邊形MDND′為正方形,
∴∠D′NB=90°,
在Rt△D′NB中,D′N=t,BN=2﹣t,BD′=2,
∴t2+(2﹣t)2=22,
∴t1=t2=,
即:經過s時,點D恰好落在x軸上的D′處.
(3)存在,
如圖,
由(2)知△ABD為等腰直角三角形,
∵△PBD與△ABD相似,且不全等,
∴△PBD是以BD為斜邊的等腰直角三角形,
∴點P的座標為(1,0)或(2,3).
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題