如圖，已知矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB=4，另外兩個頂點C，D落在拋物線y=﹣x2+2x上，拋物線的對...

問題詳情：

如圖，已知矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB=4，另外兩個頂點C，D落在拋物線y=﹣x2+2x上，拋物線的對稱軸與x軸交於點E，連結直線OC交拋物線的對稱軸於點F．

（1）求拋物線的對稱軸和直線OC的函數表達式．

（2）將△OEF繞點O旋轉得到△OE′F′，當點F′恰好落在直線AD上時，求點E′的座標．

【回答】

解：（1）根據題意得：

拋物線的對稱軸為：x=﹣=4，

∴OE=4

∵AB=4，

∴AE=BE=2

∴點C和點B的橫座標為6，

把x=6代入y=﹣x2+2x得：

y=﹣×62+2×6=3，

即點C的座標為（6，3），

設直線OC的函數表達式為：y=kx，

把點C（6，3）代入得：

6k=3，

解得：k=，

故直線OC的函數表達式為：y=，

即拋物線的對稱軸為：x=4，直線OC的函數表達式為：y=，

（2）①如圖1中，當點F′在*線AD上時．作E′N⊥AD於N，設OE′交AD於P．

∵OF=OF′，EF=OA=2，

∴Rt△OFE≌Rt△F′AO，

∴AF′=OE=4，∠OF′A=∠FOE=∠F′OE′，

∴OP=PF′，設OP=PF′=m，

在Rt△PE′F′中，∵PF′2=E′F′2+PE′2，

∴m2=22+（4﹣m）2，

∴m=，

∴E′N==，

∴NF′==，

∴AN=AF′﹣F′N=4﹣=，

∴E′（，），

②如圖2中，當點F′在DA的延長線上時，易知點E′在y軸上，E′（0，﹣4）

綜上所述，點E的座標為（，）或（0，﹣4）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題