如圖，拋物線y=x2﹣2x+c的頂點A在直線l：y=x﹣5上．（1）求拋物線頂點A的座標；（2）設拋物線與y軸...

問題詳情：

如圖，拋物線y=x2﹣2x+c的頂點A在直線l：y=x﹣5上．

（1）求拋物線頂點A的座標；

（2）設拋物線與y軸交於點B，與x軸交於點C．D（C點在D點的左側），試判斷△ABD的形狀；

（3）在直線l上是否存在一點P，使以點P、A．B．D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

考點：二次函數綜合題。

解答：解：（1）∵頂點A的橫座標為x==1，且頂點A在y=x﹣5上，

∴當x=1時，y=1﹣5=﹣4，

∴A（1，﹣4）．

（2）△ABD是直角三角形．

將A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，

∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）

當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3

∴C（﹣1，0），D（3，0），

BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，

BD2+AB2=AD2，

∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

（3）存在．

由題意知：直線y=x﹣5交y軸於點A（0，﹣5），交x軸於點F（5，0）

∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3

∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形

∴BD∥l，即PA∥BD

則構成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，

過點P作y軸的垂線，過點A作x軸的垂線並交於點C

設P（x1，x1﹣5），則G（1，x1﹣5）

則PC=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|

PA=BD=3

由勾股定理得：

（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2，4

∴P（﹣2，﹣7），P（4，﹣1）

存在點P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以點A．B．D．P為頂點的四邊形是平行四邊形．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題