如圖，直線y＝﹣x+4與拋物線y＝﹣x2+bx+c交於A，B兩點，點A在y軸上，點B在x軸上．（1）求拋物線的...

問題詳情：

如圖，直線y＝﹣x+4與拋物線y＝﹣x2+bx+c交於A，B兩點，點A在y軸上，點B在x軸上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸下方的拋物線上存在一點P，使得∠ABP＝90°，求出點P座標；

（3）點E是拋物線對稱軸上一點，點F是拋物線上一點，是否存在點E和點F使得以點E，F，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點F的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）y＝﹣x+4，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝4，

故：點A、B的座標分別為（0，4）、（4，0），

把A、B點座標代入二次函數表達式得：，

解得：，

則：求拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+4…①；

（2）∵OA＝OB＝4，∴∠ABO＝45°，

∠ABP＝90°，則OB為線段AC的垂直平分線，則點C座標為（0，﹣4），

則：直線BC的表達式為：y＝kx﹣4，

把點B點座標代入上式，解得：k＝1，

故：直線BC的表達式為：y＝x﹣4…②，

將①②聯立解得：x＝±4（捨去正值），

故點P的座標為（﹣4，﹣8）；

（3）存在；①當OB是平行四邊形的一條邊時，

以E，F，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形時，有如下圖所示的兩種情況：

先求解左側圖中F點的座標，

此時EF＝OB＝4，

則：點F的橫座標為5，把點F（或F″）的橫座標代入二次函數表達式，

解得：y＝﹣，即點F座標為（5，﹣），

同理：點F的座標為（﹣3，﹣）；

②當OB是平行四邊形的對角線時，

以E，F，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形時，有如下圖所示的一種情況：

∵OE′BF′為平行四邊形，∴OE′＝BF′，∠BOE′＝∠F′BO，

過點E′、F′分別作x軸的平行線，分別交y軸和y軸的平行線與點M、N，

∠MOE′＝90°﹣∠BOE′，∠NBF′＝90°﹣∠F′BO，

∴∠MOE′＝∠NBF′，又OE′＝BF′，∠OME′＝∠BNF′＝90°，

∴△OME′≌△BNF′（AAS），

∴OM＝BN＝1，ME′＝F′N，

設：BN＝m，則：點F′座標為：（3，m），

把點F′座標代入二次函數表達式，解得：m＝，

故：點F′座標為（3，），

綜上所述：點F的座標為（5，﹣）或（﹣3，﹣）或（3，）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題