如圖，在平面角座標系中，拋物線C1：y=ax2+bx﹣1經過點A（﹣2，1）和點B（﹣1，﹣1），拋物線C2：...

問題詳情：

如圖，在平面角座標系中，拋物線C1：y=ax2+bx﹣1經過點A（﹣2，1）和點B（﹣1，﹣1），拋物線C2：y=2x2+x+1，動直線x=t與拋物線C1交於點N，與拋物線C2交於點M．

（1）求拋物線C1的表達式；

（2）直接用含t的代數式表示線段MN的長；

（3）當△AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求t的值；

（4）在（3）的條件下，設拋物線C1與y軸交於點P，點M在y軸右側的拋物線C2上，連接AM交y軸於點k，連接KN，在平面內有一點Q，連接KQ和QN，當KQ=1且∠KNQ=∠BNP時，請直接寫出點Q的座標．

【回答】

【解答】解：（1）∵拋物線C1：y=ax2+bx﹣1經過點A（﹣2，1）和點B（﹣1，﹣1）

∴

解得：

∴拋物線C1：解析式為y=x2+x﹣1

（2）∵動直線x=t與拋物線C1交於點N，與拋物線C2交於點M

∴點N的縱座標為t2+t﹣1，點M的縱座標為2t2+t+1

∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2

（3）共分兩種情況

①當∠ANM=90°，AN=MN時，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）

∴AN=t﹣（﹣2）=t+2

∵MN=t2+2

∴t2+2=t+2

∴t1=0（捨去），t2=1

∴t=1

②當∠AMN=90°，AN=MN時，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）

∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，

∵MN=t2+2

∴t2+2=t+2

∴t1=0，t2=1（捨去）

∴t=0

故t的值為1或0

（4）由（3）可知t=1時M位於y軸右側，根據題意畫出示意圖如圖：

易得K（0，3），B、O、N三點共線

∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）

∴點K、P關於直線AN對稱

設⊙K與y軸下方交點為Q2，則其座標為（0，2）

∴Q2與點P關於直線AN對稱

∴Q2是滿足條件∠KNQ=∠BNP．

則NQ2延長線與⊙K交點Q1，Q1、Q2關於KN的對稱點Q3、Q4也滿足∠KNQ=∠BNP．

由圖形易得Q1（﹣3，3）

設點Q3座標為（a，b），由對稱*可知Q3N=NQ1=BN=2

由∵⊙K半徑為1

∴

解得，1

同理，設點Q4座標為（a，b），由對稱*可知Q4N=NQ2=NO=

∴

解得

，

∴滿足條件的Q點座標為：（0，2）、（﹣3，3）、（，）、（，）

【點評】本題為代數幾何綜合題，考查了二次函數基本*質．解答過程中應用了分類討論、數形結合以及構造數學模型等數學思想．

知識點：各地中考

題型：綜合題