已知直線交軸於點，交軸於點，二次函數的圖象過兩點，交軸於另一點，，且對於該二次函數圖象上的任意兩點，，當時，總...

問題詳情：

已知直線交軸於點，交軸於點，二次函數的圖象過兩點，交軸於另一點，，且對於該二次函數圖象上的任意兩點，，當時，總有．

（1）求二次函數的表達式；

（2）若直線，求*：當時，；

（3）為線段上不與端點重合的點，直線過點且交直線於點，求與面積之和的最小值．

【回答】

（1）；（2）詳見解析；（3）的最小值為．

【解析】

（1）先根據座標軸上點的座標特徵由一次函數的表達式求出A，B兩點的座標，再根據BC=4，得出點C的座標，最後利用待定係數法可求二次函數的表達式；

（2）利用反*法*即可；

（3）先求出q的值，利用，得出，設，然後用含t的式子表示出的面積，再利用二次函數的*質求解即可．

【詳解】

解：（1）對於，

當時，，所以；

當時，，，所以，

又因為，所以或，

若拋物線過，則當時，隨的增大而減少，不符合題意，捨去．

若拋物線過，則當時，必有隨的增大而增大，符合題意．

故可設二次函數的表達式為，

依題意，二次函數的圖象過，兩點，

所以，解得

所求二次函數的表達式為．

（2）當時，直線與直線不重合，

假設和不平行，則和必相交，設交點為，

由得，

解得，與已知矛盾，所以與不相交，

所以．

（3）如圖，

因為直線過，所以，

又因為直線，所以，即，

所以，，

所以，所以，

設，則，

，

所以，

所以

所以當時，的最小值為．

【點睛】

本題考查了一次函數和二次函數的圖象與*質、相似三角形的*質與判定、三角形面積等基礎知識，注意函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想及分類與整合思想的運用．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題