如圖，頂點為P（3，3）的二次函數圖象與x軸交於點A（6，0），點B在該圖象上，OB交其對稱軸l於點M，點M、...

問題詳情：

如圖，頂點為P（3，3）的二次函數圖象與x軸交於點A（6，0），點B在該圖象上，OB交其對稱軸l於點M，點M、N關於點P對稱，連接BN、ON．

（1）求該二次函數的關係式．

（2）若點B在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動，請解答下列問題：

①連接OP，當OP＝MN時，請判斷△NOB的形狀，並求出此時點B的座標．

②求*：∠BNM＝∠ONM．

【回答】

解：（1）∵二次函數頂點為P（3，3）

∴設頂點式y＝a（x﹣3）2+3

∵二次函數圖象過點A（6，0）

∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣

∴二次函數的關係式為y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x

（2）設B（b，﹣b2+2b）（b＞3）

∴直線OB解析式為：y＝（﹣b+2）x

∵OB交對稱軸l於點M

∴當xM＝3時，yM＝（﹣b+2）×3＝﹣b+6

∴M（3，﹣b+6）

∵點M、N關於點P對稱

∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3，

∴yN＝3+b﹣3＝b，即N（3，b）

①∵OP＝MN

∴OP＝MP

∴＝b﹣3

解得：b＝3+3

∴﹣b2+2b＝﹣×（3+3）2+2×（3+3）＝﹣3

∴B（3+3，﹣3），N（3，3+3）

∴OB2＝（3+3）2+（﹣3）2＝36+18，ON2＝32+（3+3）2＝36+18，BN2＝（3+3﹣3）2+（﹣3﹣3﹣3）2＝72+36

∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2

∴△NOB是等腰直角三角形，此時點B座標為（3+3，﹣3）．

②*：如圖，設直線BN與x軸交於點D

∵B（b，﹣b2+2b）、N（3，b）

設直線BN解析式為y＝kx+d

∴  解得：

∴直線BN：y＝﹣bx+2b

當y＝0時，﹣bx+2b＝0，解得：x＝6

∴D（6，0）

∵C（3，0），NC⊥x軸

∴NC垂直平分OD

∴ND＝NO

∴∠BNM＝∠ONM

知識點：各地中考

題型：綜合題