直線l過橢圓+y2=1的左焦點F,且與橢圓相交於P、Q兩點,M為PQ的中點,O為原點.若△FMO是以OF為底邊...

問題詳情：

直線l過橢圓+y2=1的左焦點F,且與橢圓相交於P、Q兩點,M為PQ的中點,O為原點.若△FMO是以OF為底邊的等腰三角形,則直線l的方程為　　　　. 

【回答】

x±y+1=0

解析:法一　由橢圓方程得a=,b=c=1,則F(-1,0).

在△FMO中 ,|MF|=|MO|,

所以M在線段OF的中垂線上,

即xM=-,

設直線l的斜率為k,則其方程為y=k(x+1),

由得x2+2k2(x+1)2-2=0,

即(2k2+1)x2+4k2x+2(k2-1)=0,

∴xP+xQ=,

而M為PQ的中點,

故xM=(xP+xQ)==-,

∴k2=,

解得k=±.

故直線l的方程為y=±(x+1),

即x±y+1=0.

法二　設P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),

由題意知kPQ=-kOM,

由P、Q在橢圓上知

兩式相減整理得kPQ==-=-,

而kOM=,故=,

即=2,

所以kPQ=±,

直線PQ的方程為y=±(x+1),

即x±y+1=0.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：填空題