如圖，已知三稜錐中，，，為的中點，為的中點，且為正三角形.（1）求*：平面；（2）求*：平面；（3）若，，求三...

問題詳情：

如圖，已知三稜錐中，，，為的中點，為的中點，且為正三角形.

（1）求*：平面；

（2）求*：平面；

（3）若，，求三稜錐的體積.

【回答】

（1）見詳解；（2）見詳解；（3）.

【分析】

(1)先*，可*平面.

(2)先*，得，結合可*得平面.

(3)等積轉換，由，可求得體積.

【詳解】

(1)*：因為為的中點，為的中點，

所以是的中位線，.

又，，

所以.

(2)*：因為為正三角形，為的中點，所以.

又，所以.

又因為，，所以.

因為，所以.

又因為，，

所以.

(3)因為，，

所以，即是三稜錐的高.

因為，為的中點，為正三角形，

所以.

由，可得，

在直角三角形中，由，可得.

於是.

所以.

【點睛】

本題考查空間線面平行與垂直的*，體積的計算.空間中的平行與垂直的*過程就是利用相關定義、判定定理和*質定理實現線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)的轉換.求三稜錐的體積常採用等積轉換的方法，選擇易求的底面積和高來求體積.

知識點：空間幾何體

題型：解答題