已知f(x)=lnx+a(1-x).(1)討論f(x)的單調*.(2)當f(x)有最大值,且最大值大於2a-2...

問題詳情：

已知f(x)=lnx+a(1-x).

(1)討論f(x)的單調*.

(2)當f(x)有最大值,且最大值大於2a-2時,求a的取值範圍.

【回答】

【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=-a.

若a≤0,則f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增.

若a>0,則當x∈時,f′(x)>0;x∈時,f′(x)<0,

所以f(x)在上單調遞增,在上單調遞減.

(2)由(1)知,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上無最大值;

當a>0時,f(x)在x=處取得最大值,最大值為f=ln+a=-lna+a-1.

因此f>2a-2等價於lna+a-1<0,令g(a)=lna+a-1,則g(a)在(0,+∞)上單調遞增,g(1)=0.於是,當0<a<1時,g(a)<0;當a>1時,g(a)>0.因此,a的取值範圍是(0,1).

知識點：導數及其應用

題型：解答題