問題詳情:
已知函數f(x)=+ln x.
(1)當a=時,求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若函數g(x)=f(x)-x在[1,e]上為增函數,求正實數a的取值範圍.
【回答】
(1)當a=時,f(x)=+ln x,
f′(x)=,令f′(x)=0,得x=2,
∴當x∈[1,2)時,f′(x)<0,故f(x)在[1,2)上單調遞減;
當x∈(2,e]時,f′(x)>0,故f(x)在(2,e]上單調遞增,
故f(x)min=f(2)=ln 2-1.
又∵f(1)=0,f(e)=<0.
∴f(x)在區間[1,e]上的最大值f(x)max=f(1)=0.
綜上可知,函數f(x)在[1,e]上的最大值是0,最小值是ln 2-1.
(2)∵g(x)=f(x)-x=+ln x-x,
∴g′(x)=(a>0),
設φ(x)=-ax2+4ax-4,由題意知,只需φ(x)≥0在[1,e]上恆成立即可滿足題意.
∵a>0,函數φ(x)的圖象的對稱軸為x=2,
∴只需φ(1)=3a-4≥0,即a≥即可.故正實數a的取值範圍為.
知識點:基本初等函數I
題型:解答題