已知函數f(x)=x-a(ln x)2,a∈R.(1)當a=1,x>1時,試比較f(x)與1的大小,並説...

問題詳情：

已知函數f(x)=x-a(ln x)2,a∈R.

(1)當a=1,x>1時,試比較f(x)與1的大小,並説明理由;

(2)若f(x)有極大值,求實數a的取值範圍;

(3)若f(x)在x=x0處有極大值,*1<f(x0)<.

【回答】

 .(1)解當a=1,x>1時,f(x)=x-(lnx)2,x>1.

f'(x)=1-2(lnx)

令g(x)=x-2lnx,x>1,

則g'(x)=1-

當x∈(1,2)時,g'(x)<0,g(x)單調遞減,

當x∈(2,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增,

∴g(x)≥g(2)=2-2ln2>0,即f'(x)>0.

∴f(x)在(1,+∞)上單調遞增.

∴f(x)>f(1)=1.

故當a=1,x>1時f(x)>1.

(2)解∵f'(x)=1-(x>0),

令h(x)=x-2alnx(x>0),則h'(x)=1-

①當a=0時,f(x)=x無極大值.

②當a<0時,h'(x)>0,

h(x)在(0,+∞)上單調遞增,

h(1)=1>0,h()=-1<0,

∃x1∈(,1),使得h(x1)=0.

∴當x∈(0,x1)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,

當x∈(x1,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增.

∴f(x)在x=x1處有極小值,f(x)無極大值.

③當a>0時,h(x)在(0,2a)上單調遞減,h(x)在(2a,+∞)上單調遞增,

∵f(x)有極大值,

∴h(2a)=2a-2aln(2a)=2a(1-ln2a)<0,

即a>

又h(1)=1>0,h(e)=e-2a<0,

∴∃x0∈(1,e),使得h(x0)=x0-2alnx0=0,即alnx0=;

∴當x∈(0,x0)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,

當x∈(x0,e)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減.

∴f(x)有極大值,綜上所述,a>

(3)*由(2)可知,alnx0=,

∴f(x0)=x0-a(lnx0)2=x0-(1<x0<e).

設p(x)=x-(1<x<e),

則p'(x)=1->0.

∴p(x)在(1,e)上單調遞增,

∴p(1)<p(x)<p(e),

即1<p(x)<,

故1<f(x0)<

知識點：導數及其應用

題型：解答題