問題詳情:
已知:在平面直角座標系xOy中,一次函數的圖象與x軸交於點A,拋物線經過O、A兩點。
(1)試用含a的代數式表示b;
(2)設拋物線的頂點為D,以D為圓心,DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優弧兩部分。若將劣弧沿x軸翻折,翻折後的劣弧落在⊙D內,它所在的圓恰與OD相切,求⊙D半徑的長及拋物線的解析式;
(3)設點B是滿足(2)中條件的優弧上的一個動點,拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點P,使得?若存在,求出點P的座標;若不存在,請説明理由。
【回答】
(1)解法一:∵一次函數的圖象與x軸交於點A
∴點A的座標為(4,0)
∵拋物線經過O、A兩點
解法二:∵一次函數的圖象與x軸交於點A
∴點A的座標為(4,0)
∵拋物線經過O、A兩點
∴拋物線的對稱軸為直線
(2)解:由拋物線的對稱*可知,DO=DA
∴點O在⊙D上,且∠DOA=∠DAO
又由(1)知拋物線的解析式為
∴點D的座標為()
①當時,
如圖1,設⊙D被x軸分得的劣弧為,它沿x軸翻折後所得劣弧為,顯然所在的圓與⊙D關於x軸對稱,設它的圓心為D'
∴點D'與點D也關於x軸對稱
∵點O在⊙D'上,且⊙D與⊙D'相切
∴點O為切點 ∴D'O⊥OD
∴∠DOA=∠D'OA=45°
∴△ADO為等腰直角三角形
∴點D的縱座標為-2
∴拋物線的解析式為
②當時,
同理可得:
拋物線的解析式為
綜上,⊙D半徑的長為,拋物線的解析式為或
(3)解答:拋物線在x軸上方的部分上存在點P,使得
設點P的座標為(x,y),且y>0
① 當點P在拋物線上時(如圖2)
∵點B是⊙D的優弧上的一點
過點P作PE⊥x軸於點E
由解得:(捨去)
∴點P的座標為
②當點P在拋物線上時(如圖3)
同理可得,
由解得:(捨去)
∴點P的座標為
綜上,存在滿足條件的點P,點P的座標為:
或
知識點:二次函數單元測試
題型:綜合題