問題詳情:
如圖:在平面直角座標系中,直線l:y=x﹣與x軸交於點A,經過點A的拋物線y=ax2﹣3x+c的對稱軸是x=.
(1)求拋物線的解析式;
(2)平移直線l經過原點O,得到直線m,點P是直線m上任意一點,PB⊥x軸於點B,PC⊥y軸於點C,若點E在線段OB上,點F在線段OC的延長線上,連接PE,PF,且PE=3PF.求*:PE⊥PF;
(3)若(2)中的點P座標為(6,2),點E是x軸上的點,點F是y軸上的點,當PE⊥PF時,拋物線上是否存在點Q,使四邊形PEQF是矩形?如果存在,請求出點Q的座標,如果不存在,請説明理由.
【回答】
解:(1)當y=0時,x﹣=0,解得x=4,即A(4,0),拋物線過點A,對稱軸是x=,得,
解得,拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4;
(2)∵平移直線l經過原點O,得到直線m,
∴直線m的解析式為y=x.
∵點P是直線1上任意一點,
∴設P(3a,a),則PC=3a,PB=a.
又∵PE=3PF,
∴=.
∴∠FPC=∠EPB.
∵∠CPE+∠EPB=90°,
∴∠FPC+∠CPE=90°,
∴FP⊥PE.
(3)如圖所示,點E在點B的左側時,設E(a,0),則BE=6﹣a.
∵CF=3BE=18﹣3a,
∴OF=20﹣3a.
∴F(0,20﹣3a).
∵PEQF為矩形,
∴=,=,
∴Qx+6=0+a,Qy+2=20﹣3a+0,
∴Qx=a﹣6,Qy=18﹣3a.
將點Q的座標代入拋物線的解析式得:18﹣3a=(a﹣6)2﹣3(a﹣6)﹣4,解得:a=4或a=8(捨去).
∴Q(﹣2,6).
如下圖所示:當點E在點B的右側時,設E(a,0),則BE=a﹣6.
∵CF=3BE=3a﹣18,
∴OF=3a﹣20.
∴F(0,20﹣3a).
∵PEQF為矩形,
∴=,=,
∴Qx+6=0+a,Qy+2=20﹣3a+0,
∴Qx=a﹣6,Qy=18﹣3a.
將點Q的座標代入拋物線的解析式得:18﹣3a=(a﹣6)2﹣3(a﹣6)﹣4,解得:a=8或a=4(捨去).
∴Q(2,﹣6).
綜上所述,點Q的座標為(﹣2,6)或(2,﹣6).
知識點:各地中考
題型:綜合題