如圖，在平面直角座標系xOy中，直線y=kx+b與x軸交於點A，與y軸交於點B．已知拋物線y=﹣x2+bx+c...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系xOy中，直線y=kx+b與x軸交於點A，與y軸交於點B．已知拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（3，0），B（0，3）兩點．

（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；

（2）如圖①，動點E從O點出發，沿着OA方向以1個單位/秒的速度向終點A勻速運動，同時，動點F從A點出發，沿着AB方向以個單位/秒的速度向終點B勻速運動，當E，F中任意一點到達終點時另一點也隨之停止運動，連接EF，設運動時間為t秒，當t為何值時，△AEF為直角三角形？

（3）如圖②，取一根橡皮筋，兩端點分別固定在A，B處，用鉛筆拉着這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P與A，B兩點構成無數個三角形，在這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，並指出此時點P的座標；如果不存在，請簡要説明理由．

【回答】

【解答】解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（3，0），B（0，3）兩點，

∴，解得b=2，c=3．

∴y=﹣x2+2x+3．

設直線AB的解析式為y=kx+n，將點A和點B的座標代入得：，解得：k=﹣1，n=3，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+3．

（2）由題意得：OE=t，AF=t，

∴AE=OA﹣OE=3﹣t．

∵OA=OB，∠BOA=90°，

∴∠BAO=45°．

∵△AEF為等腰直角三角形，∠FAE=45°，

∴∠AEF=90°，或∠AFE=90°．

當∠AEF=90°時， =cos45°，即=，解得：t=；

當∠AFE=90°時， =cos45°，即=，解得：t=1．

綜上所述可知當t=1或t=時，△AEF為等腰直角三角形．

（3）存在．

如圖所示：過點P作PC⊥x軸，垂足為C，交AB與點D．

設點P的座標為（a，﹣a2+2a+3），則D（a，﹣a+3），PD=﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）=﹣a2+3a=﹣（a﹣）2+．

∴當a=時，PD有最大值，即△ABP的面積有最大值，PD的最大值為

∴P（，）．

∵△ABP的面積=DP•（xA﹣xB）=×3×=．

∴△ABP的面積的最大值為，此時點P的座標為（，）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題