如圖，點P在直線y=x-1上，設過點P的直線交拋物線y=x2於A(a，a2)，B(b，b2)兩點，當滿足PA=...

問題詳情：

如圖，點P在直線y=x-1上，設過點P的直線交拋物線y=x2於A(a，a2)，B(b，b2)兩點，當滿足PA=PB時，稱點P為“優點”.

(1)當a+b=0時，求“優點”P的橫座標；

(2)若“優點”P的橫座標為3，求式子18a-9b的值；

(3)小安演算髮現：直線y=x-1上的所有點都是“優點”，請判斷小安發現是否正確？如果正確，説明理由；如果不正確，舉出反例.

【回答】

(1)點橫座標為；(2)27；(3)正確，理由見解析.

【分析】

（1）先判斷點A與點B關於y軸對稱得到PA∥x軸，所以P點的縱座標為a2，P點的橫座標為a2+1，則利用PA=AB得到a2+1-a=a-（-a），然後求出a得到優點”P的橫座標； （2）由於A點為PB的中點，根據線段的中點座標公式得到a=，即2a-b=3，然後利用整體代入的方法計算代數式的值；

（3）設P（x，x-1），利用A點為PB的中點得到a=，a2=，消去a得到方程x2+2（b-1）x+1-b2=0，然後通過*此方程一定有解判斷直線y=x-1上的所有點都是“優點”．

【詳解】

(1)∵，

∴點、關於對稱，

∴軸，

∵，

∴點的橫座標為，

∴點的座標為，點的座標為，

∵軸，

∴，解得，

∴點橫座標為；

(2)∵點在直線上，

∴點座標為，

∵，

∴，

∴，

∴；

(3)設點座標為，結合點的座標，

當時，分析出點的座標為，

把點座標代入拋物線解析式中，

，

整理，得，

∵，

∴對於任意，總有x使得PA=AB，

∴直線上的點均為優點.

【點睛】

本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的座標特徵和二次函數的*質；記住線段的中點座標公式；理解判別式的意義．

知識點：二次函數單元測試

題型：解答題