已知直線y=﹣x+3與座標軸分別交於點A，B，點P在拋物線y=﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP為等腰三角形的點...

問題詳情：

已知直線y=﹣x+3與座標軸分別交於點A，B，點P在拋物線y=﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP為等腰三角形的點P的個數有（　　）

A．3個；     B．4個；     C．5個；    D．6個

【回答】

A 解：以點B為圓心線段AB長為半徑做圓，交拋物線於點C、M、N點，連接AC、BC，如圖所示．

令一次函數y=﹣x+3中x=0，則y=3，∴點A的座標為（0，3）；

令一次函數y=﹣x+3中y=0，則﹣x+3，解得：x=，∴點B的座標為（，0）．

∴AB=2．∵拋物線的對稱軸為x=，∴點C的座標為（2，3），

∴AC=2=AB=BC，∴△ABC為等邊三角形．

令y=﹣（x﹣）2+4中y=0，則﹣（x﹣）2+4=0，解得：x=﹣，或x=3．

∴點E的座標為（﹣，0），點F的座標為（3，0）．

△ABP為等腰三角形分三種情況：

①當AB=BP時，以B點為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交於C、M、N三點；

②當AB=AP時，以A點為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交於C、M兩點，；

③當AP=BP時，作線段AB的垂直平分線，交拋物線交於C、M兩點；

∴能使△ABP為等腰三角形的點P的個數有3個．故選A．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：選擇題