如圖，半徑為4的中，弦AB的長度為，點C是劣弧上的一個動點，點D是弦AC的中點，點E是弦BC的中點，連接DE，...

問題詳情：

如圖，半徑為4的中，弦AB的長度為，點C是劣弧上的一個動點，點D是弦AC的中點，點E是弦BC的中點，連接DE，OD，OE．

（1）求的度數；

（2）當點C沿着劣弧從點A開始，逆時針運動到點B時，求的外心P所經過的路徑的長度；

（3）分別記的面積為，當時，求弦AC的長度．

【回答】

（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）過O作OH⊥AB於H，由垂徑定理可知AH的長，然後通過三角函數即可得到，從而可得到的度數；

（2）連接OC，取OC的中點G，連接DG、EG，可得到O、D、C、E四點共圓，G為△ODE的外心，然後用弧長公式即可算出外心P所經過的路徑的長度；

（3）作CN∥AB交圓O於N，作CF⊥AB交AB於F，交DE於P，作OM⊥CN交CN於M，交DE於Q，交AB於H，連接OC，分別表示出，的面積為，，由可算出，然後可利用勾股定理求出結果．

【詳解】

解：（1）如圖，過O作OH⊥AB於H，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）如圖，連接OC，取OC的中點G，連接DG、EG，

∵D是弦AC的中點，點E是弦BC的中點，，

∴OD⊥AC，OE⊥BC，即∠ODC=∠OEC=90°，

∴，

∴O、D、C、E四點共圓，G為△ODE的外心，

∴G在以O為圓心，2為半徑的圓上運動，

∵，

∴運動路徑長為；

（3）當點C靠近A點時，如圖，作CN∥AB交圓O於N，作CF⊥AB交AB於F，交DE於P，作OM⊥CN交CN於M，交DE於Q，交AB於H，連接OC，

∵D是弦AC的中點，點E是弦BC的中點，

∴，

∵，，

∴OH=2，

設，，由題可知，，

∴，，

∴

∵，

∴，即，

解得，

∴，即，

由於，∴，

又∵，

∴，

同理當點C靠近B點時，可知，

綜上所述，或．

【點睛】

本題是圓的綜合問題，題目相對較難，屬於中考壓軸題類型，理解題意並能準確畫出輔助線是解題的關鍵．

知識點：弧長和扇形面積

題型：綜合題