如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD於點D，E，F分別為弦AB與弦AC上的點，且BC·AE...

問題詳情：

如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD於點D，E，F分別為弦AB與弦AC上的點，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四點共圓．

(1)*：CA是△ABC外接圓的直徑；

(2)若DB＝BE＝EA，求過B，E，F，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．

【回答】

解：(1)*：因為CD為△ABC外接圓的切線，所以∠DCB＝∠A，由題設知＝，故△CDB∽△AEF，

所以∠DBC＝∠EFA.

因為B，E，F，C四點共圓，所以∠CFE＝∠DBC，

故∠EFA＝∠CFE＝90°.

所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圓的直徑．

(2)如圖，連接CE，因為∠CBE＝90°，所以過B，E，F，C四點的圓的直徑為CE.由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.

而DC2＝DB·DA＝3DB2，故過B，E，F，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為.

知識點：幾何*選講

題型：解答題