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已知函數，.（為常數，為自然對數的底，）（Ⅰ）當時，求的單調區間；（Ⅱ）若函數在區間上無零點，求的最小值...

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問題詳情：

已知函數，.（為常數，為自然對數的底，）

（Ⅰ）當時，求的單調區間；

（Ⅱ）若函數在區間上無零點，求的最小值；

（Ⅲ）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得

成立，求的取值範圍．

【回答】

解：（Ⅰ）當時，則.

令得；令得

故的單調遞減區間為，單調遞增區間為 ……………2分

（Ⅱ）∵函數在區間上不可能恆成立，故要使函數在區間上無零點，只要對，恆成立。即對，恆成立。……3分

令（）則 …4分

再令，則，∵，∴

故函數在區間上單調遞減，∴

即，∴函數在區間上單調遞增，∴ …5分

故只要函數在區間上無零點，所以 …6分

（Ⅲ）∵，當，，∴函數在區間上是增函數。

∴ …7分

當時，，不符題意

當時，

當時，，由題意有在上不單調，故

∴① …8分

當變化時，變化情況如下：


		0	+
	單調遞減	最小值	單調遞增

又因為時，

…9分

所以，對於給定的，在在上總存在兩個不同的，使得成立，若且唯若滿足下列條件

即②③ …10分

令

，令，則

故時，，函數單調遞增

時，，函數單調遞減

所以對任意的， …11分

由③得④，由①④當時，在上總存在兩個不同的，使得成立

知識點：基本初等函數I

題型：解答題

Tags：自然對數函數區間

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