已知函數，其中為自然對數的底數，．（1）討論函數的單調*，並寫出相應的單調區間；（2）已知，，若對任意都成立...

問題詳情：

 已知函數，其中為自然對數的底數，．

（1）討論函數的單調*，並寫出相應的單調區間；

（2）已知，，若對任意都成立，求的最大值；

（3）設，若存在，使得成立，求的取值範圍．

【回答】

解：（1）由，知．

若，則恆成立，所以在上單調遞增；     

若，令，得，

當時，，當時，，

所以在上單調遞減；在上單調遞增．         

（2）由（1）知，當時，．

因為對任意都成立，所以，               所以．

設，（），由，

令，得，

當時，，所以在上單調遞增；

當時，，所以在上單調遞減，

所以在處取最大值，且最大值為．                      

所以，若且唯若，時，取得最大值為．                 

（3）設，即

     題設等價於函數有零點時的的取值範圍．

     ① 當時，由，，所以有零點．                                         

     ② 當時，若，由，得；

        若，由（1）知，，所以無零點．                                           

     ③ 當時，，

        又存在，，所以有零點．

    綜上，的取值範圍是或．                        

知識點：基本初等函數I

題型：解答題