問題詳情:
如圖,是拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,拋物線的頂點座標是A(1,3),與x軸的一個交點B(4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交於A,B兩點,下列結論:①2a+b=0;m+n=3;②拋物線與x軸的另一個交點是(﹣1,0);③方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數根;④當1x4時,有y2y1;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,則x1+x2=1.正確的為( )
A.①④⑤ B.①③④ C.①③⑤ D.①②③
【回答】
B
【分析】
①根據對稱軸方程x=﹣=1,可得2a+b=0是正確的,將點A代入到直線y2=mx+n(m≠0)可得m+n=3,
②根據軸對稱的*質,由點B(4,0)關於直線x=1的對稱點座標為(﹣2,0)來判斷;
③由直線y=3過拋物線y=ax2+bx+c的頂點A(1,3)可判斷方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數根;
④根據函數的圖像來回答即可;
⑤將ax12+bx1=ax22+bx2兩邊同時加上c,即ax12+bx1+c=ax22+bx2+c,即y1=y2,可得關於對稱軸對稱,可得.
【詳解】
解:①∵對稱軸x=﹣=1,則2a+b=0,
將點A(1,3)、B(4,0)代入直線AB的表達式: ,
解,得,
∴m+n=3,
故①正確,符合題意;
②∵對稱軸為直線x=1,
∴點B(4,0)關於對稱軸直線x=1的對稱點為(﹣2,0),
故②錯誤,不符合題意;
③如圖,∵直線y=3過拋物線頂點 A(1,3),
∴拋物線y=ax2+bx+c直線y=3只有一個公共點;
∴方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數根,
故③正確,符合題意;
④當1<x<4時,由圖象可知y2<y1,故④正確,符合題意;
⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,即ax12+bx1+c=ax22+bx2+c,即y1=y2,
∴關於對稱軸對稱
∴(x1+x2)=1,
故⑤錯誤,不符合題意;
故選:B.
【點睛】
本題為二次函數綜合題,考查了二次函數圖象*質和從函數的觀點看待方程和不等式,解答關鍵是數形結合.
知識點:二次函數單元測試
題型:選擇題