問題詳情:
如圖,拋物線 y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與 x 軸交於 A、B 兩點(點 A 在點 B 的左邊),與 y
軸交於點 C,點 D 為拋物線的頂點.
(1) 求點 A、B、C 的座標;
(2) 點 M(m,0)為線段 AB 上一點(點 M 不與點 A、B 重合),過點 M 作 x 軸的垂線,與直線 AC 交於點 E,與拋物線交於點 P,過點 P 作 PQ∥AB 交拋物線於點 Q,過點 Q 作 QN⊥x 軸於點 N,可得矩形 PQNM.如圖,點 P 在點 Q 左邊,試用含 m 的式子表示矩形 PQNM 的周長;
(3) 當矩形 PQNM 的周長最大時,m 的值是多少?並求出此時的△AEM 的面積;
(4) 在(3)的條件下,當矩形 PMNQ 的周長最大時,連接 DQ,過拋物線上一點 F 作 y 軸的平行線,與直線 AC 交於點 G(點 G 在點 F 的上方).若 FG=2DQ,求點 F 的座標.
【回答】
解:
(1)由拋物線 y=﹣x2﹣2x+3 可知,C(0,3).令 y=0,則 0=﹣x2﹣2x+3,
解得,x=﹣3 或 x=l,
∴A(﹣3,0),B(1,0).
(2)由拋物線 y=﹣x2﹣2x+3 可知,對稱軸為 x=﹣1.
∵M(m,0),
∴PM=﹣m2﹣2m+3,MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2,
∴矩形 PMNQ 的周長=2(PM+MN)=(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2=﹣2m2﹣8m+2.
(3)∵﹣2m2﹣8m+2=﹣2(m+2)2+10,
∴矩形的周長最大時,m=﹣2.
∵A(﹣3,0),C(0,3), 設直線 AC 的解析式 y=kx+b,
∴
解得 k=l,b=3,
∴解析式 y=x+3, 令 x=﹣2,則 y=1,
∴E(﹣2,1),
∴EM=1,AM=1,
∴S= AM×EM= .
(4)∵M(﹣2,0),拋物線的對稱軸為 x=﹣l,
∴N 應與原點重合,Q 點與 C 點重合,
∴DQ=DC,
把 x=﹣1 代入 y=﹣x2﹣2x+3,解得 y=4,
∴D(﹣1,4),
∴DQ=DC= .
∵FG=2 DQ,
∴FG=4.
設 F(n,﹣n2﹣2n+3),則 G(n,n+3),
∵點 G 在點 F 的上方且 FG=4,
∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)=4. 解得 n=﹣4 或 n=1,
∴F(﹣4,﹣5)或(1,0).
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題