如圖，在平面直角座標系中，直線l：y=kx+h與x軸相交於點A（﹣1，0），與y軸相交於點C，與拋物線y=﹣x...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，直線l：y=kx+h與x軸相交於點A（﹣1，0），與y軸相交於點C，與拋物線y=﹣x2+bx+3的一交點為點D，拋物線過x軸上的AB兩點，且CD=4AC．

（1）求直線l和拋物線的解析式；

（2）點E是直線l上方拋物線上的一動點，求當△ADE面積最大時，點E的座標；

（3）設P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，四邊形APDQ能否為矩形？若能，請直接寫出點P的座標；若不能，請説明理由．

【回答】

【解答】解：（1）將A（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+3，得b=2，

所以拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，

過點D作DF⊥x軸於點F，如圖1

易*△AOC∽△AFD，

∴，

∵CD=4AC，

∴=，

∴點D橫座標為4，

把x=4代入y=﹣x2+2x+3，得y=﹣5，

∴D（4，﹣5），

把x=4，y=﹣5；x=﹣1，y=0代入y=kx+h，

解得，k=﹣1，h=﹣1，

∴直線l的解析式為y=﹣x﹣1．

（2）過點E作EM⊥x軸，交AD於點M，如圖2

設點E（m，﹣m2+2m+3），則M（m，﹣m﹣1），

∴EM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m﹣1）═﹣m2+3m+4，

∴S△ADE=（﹣m2+3m+4）=，

當m=時，△ADE的面積最大，

此時，E（，）．

（3）不存在

理由如下：

∵拋物線的對稱軸為直線x=1，

設P（1，m），

①若AD是平行四邊形ADPQ的一條邊，如圖3

則易得Q（﹣4，﹣21），

m=﹣21﹣5=﹣26，則P（1，﹣26），

此時AQ2=32+212=450，QP2=52+52=50，AP2=22+262=680，

∴AQ2+QP2≠AP2，

∴∠AQP≠90°，

此時平行四邊形ADPQ不是矩形；

②若AD是平行四邊形APDQ的對角線，如圖4

則易得Q（2，3），

m=﹣5a﹣3=﹣8，則P（1，﹣8），

PQ2=12+112=122，PD2=32+32=18QD2=22+82=68，

∴PD2+QD2≠PQ2，

∴∠PDQ≠90°，

此時平行四邊形ADPQ不是矩形，

綜上所述，四邊形APDQ不能為矩形．

知識點：相似三角形

題型：解答題