問題詳情:
在平面直角座標系xOy中,規定:拋物線y=a(x﹣h)2+k的伴隨直線為y=a(x﹣h)+k.例如:拋物線y=2(x+1)2﹣3的伴隨直線為y=2(x+1)﹣3,即y=2x﹣1.
(1)在上面規定下,拋物線y=(x+1)2﹣4的頂點座標為 ,伴隨直線為 ,拋物線y=(x+1)2﹣4與其伴隨直線的交點座標為 和 ;
(2)如圖,頂點在第一象限的拋物線y=m(x﹣1)2﹣4m與其伴隨直線相交於點A,B(點A在點B的左側),與x軸交於點C,D.
①若∠CAB=90°,求m的值;
②如果點P(x,y)是直線BC上方拋物線上的一個動點,△PBC的面積記為S,當S取得最大值時,求m的值.
【回答】
解:
(1)∵y=(x+1)2﹣4,
∴頂點座標為(﹣1,﹣4),
由伴隨直線的定義可得其伴隨直線為y=(x+1)﹣4,即y=x﹣3,
聯立拋物線與伴隨直線的解析式可得,解得或,
∴其交點座標為(0,﹣3)和(﹣1,﹣4),
故*為:(﹣1,﹣4);y=x﹣3;(0,﹣3);(﹣1,﹣4);
(2)①∵拋物線解析式為y=m(x﹣1)2﹣4m,
∴其伴隨直線為y=m(x﹣1)﹣4m,即y=mx﹣5m,
聯立拋物線與伴隨直線的解析式可得,解得或,
∴A(1,﹣4m),B(2,﹣3m),
在y=m(x﹣1)2﹣4m中,令y=0可解得x=﹣1或x=3,
∴C(﹣1,0),D(3,0),
∴AC2=4+16m2,AB2=1+m2,BC2=9+9m2,
∵∠CAB=90°,
∴AC2+AB2=BC2,即4+16m2+1+m2=9+9m2,解得m=(拋物線開口向下,捨去)或m=﹣,
∴當∠CAB=90°時,m的值為﹣;
②設直線BC的解析式為y=kx+b,
∵B(2,﹣3m),C(﹣1,0),
∴,解得,
∴直線BC解析式為y=﹣mx﹣m,
過P作x軸的垂線交BC於點Q,如圖,
∵點P的橫座標為x,
∴P(x,m(x﹣1)2﹣4m),Q(x,﹣mx﹣m),
∵P是直線BC上方拋物線上的一個動點,
∴PQ=m(x﹣1)2﹣4m+mx+m=m(x2﹣x﹣2)=m[(x﹣)2﹣],
∴S△PBC=×[(2﹣(﹣1)]PQ=(x﹣)2﹣m,
∴當x=時,△PBC的面積有最大值﹣m,
∴S取得最大值時,即﹣m=,解得m=﹣2.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題