如圖*，四邊形的邊、分別在軸、軸的正半軸上，頂點在點的拋物線交軸於點、，交軸於點，連接、、．已知，，，．（1）...

問題詳情：

如圖*，四邊形的邊、分別在軸、軸的正半軸上，頂點在點的拋物線交軸於點、，交軸於點，連接、、．已知，，，．

（1）求拋物線的解析式及頂點的座標；

（2）求*：是外接圓的切線；

（3）試探究座標軸上是否存在一點，使以、、為頂點的三角形與相似，若存在，直接寫出點的座標；若不存在，請説明理由；

（4）設沿軸正方向平移個單位長度(0＜t≤3)時，與重疊部分的面積為，求與之間的函數關係式，並指出的取值範圍．

【回答】

（1）；（2）*見解析；（3），，；（4）．

【解析】（1）解：由題意，設拋物線解析式為．

將代入上式，解得：．．則點．

（2）*：如圖1，過點作於點，則．

在中，，

，．

在中，，

，．

．

是外接圓的直徑．

在中，，．

在中，，．

，即．是外接圓的切線．

（3）中，，，，；

若以、、為頂點的三角形與相似，則必為直角三角形；

①為斜邊時，在軸上，此時與重合；

由、，得、，即，即，

滿足的條件，因此點是符合條件的點，座標為．

②為短直角邊時，在軸上；

若以、、為頂點的三角形與相似，則，；

而，則，,即：；

③為長直角邊時，點在軸上；

若以、、為頂點的三角形與相似，則，；

則，；

綜上，得：，，．

（4）設直線的解析式為．

將，代入，得，解得．

．

過點作*線軸交於點，當時，得，，．

情況一：如圖2，

當時，設平移到的位置，交於點，交於點．

則，過點作軸於點，交於點．

由，得，即．

解得．

．

情況二：如圖3，

當時，設平移到的位置，交於點，交於點．

由，得．即，解得．

，．

綜上所述：．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題