如圖在正方體AC1中,E、F分別為D1C1、B1C1的中點,,．  (1)求*：D、B、F、E四點共面；  (...

問題詳情：

如圖在正方體AC1中,E、F分別為D1CB1C1的中點,,．

   (1)求*：D、B、F、E四點共面；

   (2)確定出直線A1C與平面BDEF的交點R的位置.

   (3)求異面直線A1C1和BF所成角的餘弦值．

【回答】

解：（1）*：連接，易有平行且等於，則四邊形是平行四邊形,

則有,又E、F分別為D1CB1C1的中點,

 則，即有,

故D，B，F，E共面; 

（2）在正方體AC1中，連接PQ，  平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ,則 , 又A1C∩平面BDEF=R，  ∴R∈A1C，  ∴R∈平面A1C1CA，  R∈平面BDEF,  ∴R是A1C與PQ的交點,如圖;

（3）取A1B1的中點M，連BM、FM，因為FM∥A1C1，所以∠MFB為兩異面直線所成的角,

設正方體稜長為a，則BM=BF=，，

所以cos∠MFB=.

故異面直線A1C1和BF所成角的餘弦值為

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題