如圖，分別過橢圓E：的左、右焦點F1，F2的動直線l1，l2：相交於點P，與橢圓E分別交於A、B和C、D四點，...

問題詳情：

如圖，分別過橢圓E：的左、右焦點F1，F2的動直線l1，l2：相交於點P，與橢圓E分別交於A、B和C、D四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率k1，k2，k3，k4滿足k1＋k2＝k3＋k4。已知當l1與x軸重合時，|AB|＝2，|CD|＝。

(1)求橢圓E的方程；

(2)是否存在定點M，N，使得|PM|＋|PN|為定值？若存在，求出點M、N的座標及定值；若不存在，請説明理由。

【回答】

解：(1)當l1與x軸重合時，k1＋k2＝k3＋k4＝0，即k3＝－k4，

∴l2垂直於x軸，得|AB|＝2a＝2，|CD|＝＝，

得a＝，b＝，∴橢圓E的方程為＋＝1. ------------------------------------------- 4分

(2)焦點F1，F2座標分別為(－1，0)，(1，0)，

當直線l1或l2斜率不存在時，P點座標為(－1，0)或(1，0)，-------------------------------------- 5分

當直線l1，l2斜率存在時，設斜率分別為m1，m2，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(2＋3m)x2＋6mx＋3m－6＝0，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝，

k1＋k2＝＋＝m1＝m1＝m1＝－，- 7分

同理k3＋k4＝－，--------------------------------------------------------------------------------- 8分

∵k1＋k2＝k3＋k4，∴＝，即(m1m2＋2)(m2－m1)＝0，

由題意知m1≠m2，∴m1m2＋2＝0----------------------------------------------------------------------- 9分

設P(x，y)，則·＋2＝0，即＋x2＝1(x≠±1)，---------------------------------------- 10分

又當直線l1或l2斜率不存在時，P點座標為(－1，0)或(1，0)也滿足此方程，

∴點P(x，y)在橢圓＋x2＝1上，

存在點M(0，－1)和點N(0，1)，使得|PM|＋|PN|為定值，定值為2.------------------------ 12分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題