問題詳情:
如圖1,兩塊直角三角紙板(Rt△ABC和Rt△BDE)按如圖所示的方式擺放(重合點為B),其中∠BDE=∠ACB=90°,∠ABC=30°,BD=DE=AC=2.將△BDE繞着點B順時針旋轉.
(1)當點D在BC上時,求CD的長;
(2)當△BDE旋轉到A,D,E三點共線時,畫出相應的草圖並求△CDE的面積
(3)如圖2,連接CD,點G是CD的中點,連接AG,求AG的最大值和最小值.
【回答】
(1)2﹣2;(2)1;(3)AG的最小值為﹣1,AG的最大值為+1
【分析】
(1)如圖1中,根據CD=BC﹣BD,只要求出BC即可解決問題;
(2)分兩種情形分別求解,由三角形的面積公式可解決問題;
(3)如圖4中,取BC的中點H,連接GH.由CG=GD,CH=HB,推出HG=BD=1,可得點G的運動軌跡是以H為圓心1為半徑的圓,根據點與圓的位置關係即可解決問題;
【詳解】
解:(1)如圖1中,
在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=2,∠ABC=30°,
∴BC=AC÷tan30°=2,
∵BD=2,
∴CD=BC﹣BD=2﹣2.
(2)如圖2中,當A、D、E共線時,易*四邊形ACBD是矩形,
∴S△CDE=×DE×CA=×2×2=2.
如圖3中,當A、E、D共線時,作CH⊥AD於H.
在Rt△ADB中,∵AB=2BD,
∴∠BAD=30°,
∵∠CAB=60°,
∴∠CAH=30°,
∴CH=AC=1,
∴S△CDE=×DE×CH=×2×1=1.
(3)如圖4中,取BC的中點H,連接GH.
∵CG=GD,CH=HB,
∴HG=BD=1,
∴點G的運動軌跡是以H為圓心1為半徑的圓,
在Rt△ACH中,AH===,
∴AG的最小值=AH﹣GH=﹣1,
AG的最大值=AH+GH=+1
【點睛】
本題考查幾何變換綜合題、特殊直角三角形的*質、旋轉變換、解直角三角形、勾股定理、點與圓的位置關係等知識,解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題,學會添加常用輔助線,構造三角形中位線解決問題,屬於中考壓軸題.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題