二次函數y=﹣x2+2x+m的圖象與x軸交於A、B兩點（B在A右側），頂點為C，且A、B兩點間的距離等於點C到...

問題詳情：

二次函數y=﹣x2+2x+m的圖象與x軸交於A、B兩點（B在A右側），頂點為C，且A、B兩點間的距離等於點C到y軸的距離的2倍．

（1）求此拋物線的解析式．

（2）求直線BC的解析式．

（3）若點P在拋物線的對稱軸上，且⊙P與x軸以及直線BC都相切，求點P的座標．

【回答】

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）先把m當作已知條件求出點C的座標及拋物線與x軸的交點座標，再由A、B兩點間的距離等於點C到y軸的距離的2倍即可得出m的值，進而得出結論；

（2）根據（1）中m的值可得出B、C兩點的座標，利用待定係數法可得出直線BC的解析式；

（3）設點P（1，n），過點P作PD⊥BC，根據（2）中直線BC的解析式可知∠OBC的度數，故可用n表示出PC的長，進而得出結論．

【解答】解：（1）∵二次函數的解析式為y=﹣x2+2x+m，

∴頂點為C（1，m+1），與x軸交於A（1﹣，0）、B（1+，0）．

∵A、B兩點間的距離等於點C到y軸的距離的2倍，

∴（1﹣）﹣（1+）=2，解得m=0，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x；

（2）∵由（1）知，m=0，

∴B（2，0），C（1，1）．

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2；

（3）如圖，設點P（1，n），過點P作PD⊥BC，

∵由（2）知直線BC的解析式為y=﹣x+2，

∴∠AEB=45°．

∵∴PC=n，

∴1﹣n=n，

∴n=﹣1，

∴點P（1，﹣1）．

【點評】本題考查的是二次函數綜合題，涉及到二次函數與座標軸的交點問題及用待定係數法求一次函數的解析式，切線的*質等知識，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題