如圖，二次函數y=﹣+bx+2的圖象與x軸交於點A、B，與y軸交於點C，點A的座標為（﹣4，0），P是拋物線上...

問題詳情：

如圖，二次函數y=﹣+bx+2的圖象與x軸交於點A、B，與y軸交於點C，點A的座標為（﹣4，0），P是拋物線上一點（點P與點A、B、C不重合）．

（1）b=　 　，點B的座標是　 　；

（2）設直線PB與直線AC相交於點M，是否存在這樣的點P，使得PM：MB=1：2？若存在求出點P的橫座標；若不存在，請説明理由；

（3）連接AC、BC，判斷∠CAB和∠CBA的數量關係，並説明理由．

【回答】

【解答】解：（1）∵點A（﹣4，0）在二次函數y=﹣+bx+2的圖象上，

∴﹣﹣4b+2=0，

∴b=﹣．

當y=0時，有﹣x2﹣x+2=0，

解得：x1=﹣4，x2=，

∴點B的座標為（，0）．

故*為：﹣；（，0）．

（2）當x=0時，y=﹣x2﹣x+2=2，

∴點C的座標為（0，2）．

設直線AC的解析式為y=kx+c（k≠0），

將A（﹣4，0）、C（0，2）代入y=kx+c中，

得：，解得：，

∴直線AC的解析式為y=x+2．

假設存在，設點M的座標為（m，m+2）．

①當點P、B在直線AC的異側時，點P的座標為（m﹣，m+3），

∵點P在拋物線y=﹣x2﹣x+2上，

∴m+3=﹣×（m﹣）2﹣×（m﹣）+2，

整理，得：12m2+20m+9=0．

∵△=202﹣4×12×9=﹣32＜0，

∴方程無解，即不存在符合題意得點P；

②當點P、B在直線AC的同側時，點P的座標為（m+，m+1），

∵點P在拋物線y=﹣x2﹣x+2上，

∴m+1=﹣×（m+）2﹣×（m+）+2，

整理，得：4m2+44m﹣9=0，

解得：m1=﹣，m2=，

∴點P的橫座標為﹣2﹣或﹣2+．

綜上所述：存在點P，使得PM：MB=1：2，點P的橫座標為﹣2﹣或﹣2+．

（3）∠CBA=2∠CAB，理由如下：

作∠CBA的角平分線，交y軸於點E，過點E作EF⊥BC於點F，如圖2所示．

∵點B（，0），點C（0，2），

∴OB=，OC=2，BC=．

設OE=n，則CE=2﹣n，EF=n，

由面積法，可知：OB•CE=BC•EF，即（2﹣n）=n，

解得：n=．

∵==，∠AOC=90°=∠BOE，

∴△AOC∽△BOE，

∴∠CAO=∠EBO，

∴∠CBA=2∠EBO=2∠CAB．

【點評】題考查了二次函數圖象上點的座標特徵、待定係數法求一次函數解析式、三角形的面積、勾股定理、一次函數圖象上點的座標特徵以及相似三角形的判定與*質，解題的關鍵是：（1）由點A的座標，利用二次函數圖象上點的座標特徵求出b的值；（2）分B、P在直線AC的同側和異側兩種情況找出點P的座標；（3）構造相似三角形找出兩角的數量關係．

知識點：各地中考

題型：綜合題