已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，右焦點到直線x＋y＋＝0的距離為2.(1)求橢圓的方程；(2)過點M(...

問題詳情：

已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，右焦點到直線x＋y＋＝0的距離為2.

(1)求橢圓的方程；

(2)過點M(0，－1)作直線l交橢圓於A，B兩點，交x軸於N點，且滿足＝－，求直線l的方程．

【回答】

解：(1)設橢圓的右焦點為(c,0)(c＞0)，則＝2，c＋＝±2，c＝或c＝－3(捨去)．

又離心率＝，＝，故a＝2，b＝＝，故橢圓的方程為＋＝1.

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0,0)，因為＝－，

所以(x1－x0，y1)＝－(x2－x0，y2)，y1＝－y2.①

易知當直線l的斜率不存在或斜率為0時，①不成立，

於是設直線l的方程為y＝kx－1(k≠0)，

聯立方程，得

消去x得(4k2＋1)y2＋2y＋1－8k2＝0，②

因為Δ＞0，所以直線與橢圓相交，

於是y1＋y2＝－，③

y1y2＝， ④

由①③得，y2＝，y1＝－，

代入④整理得8k4＋k2－9＝0，k2＝1，k＝±1，

所以直線l的方程是y＝x－1或y＝－x－1.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題