如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點，以OA為半徑的⊙O經過點D．（1）求...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點，以OA為半徑的⊙O經過點D．

（1）求*：BC是⊙O切線；

（2）若BD=5，DC=3，求AC的長．

【回答】

【考點】切線的判定．

【分析】（1）要*BC是⊙O的切線，只要連接OD，再*OD⊥BC即可．

（2）過點D作DE⊥AB，根據角平分線的*質可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的長，再通過*△BDE∽△BAC，根據相似三角形的*質得出AC的長．

【解答】（1）*：連接OD；

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠1=∠3．

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∴∥AC．

∴∠ODB=∠ACB=90°．

∴OD⊥BC．

∴BC是⊙O切線．

（2）解：過點D作DE⊥AB，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴CD=DE=3．

在Rt△BDE中，∠BED=90°，

由勾股定理得：，

∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC．

∴．

∴．

∴AC=6．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題