問題詳情:
已知橢圓.
(Ⅰ)我們知道圓具有*質:若為圓O:的弦AB的中點,則直線AB的斜率與直線OE的斜率的乘積為定值。類比圓的這個*質,寫出橢圓的類似*質,並加以*;
(Ⅱ)如圖(1),點B為在第一象限中的任意一點,過B作的切線,分別與x軸和y軸的正半軸交於C,D兩點,求三角形OCD面積的最小值;
(Ⅲ)如圖(2),過橢圓上任意一點作的兩條切線PM和PN,切點分別為M,N.當點P在橢圓上運動時,是否存在定圓恆與直線MN相切?若存在,求出圓的方程;若不存在,請説明理由.
圖(1) 圖(2)
【回答】
解:(Ⅰ)若A,B為橢圓上相異的兩點,為A,B中點,當直線AB
的斜率與直線OP的斜率的乘積必為定值;----- -------------1分
*1:設,則
(2)-(1)得:,-----------2分
僅考慮斜率存在的情況:----------------------------------------4分
*2:設AB:與橢圓聯立得:
, --------------2分
所以----------4分
(Ⅱ)(ⅰ)當點A無限趨近於點B時,割線AB的斜率就等於橢圓上的B的切線的斜率,
即,
所以點B處的切線QB:----------------6分
令,,令,所以-----------------8分
又點B在橢圓的第一象限上,所以
,若且唯若
所以當時,三角形OCD的面積的最小值為-------10分(沒寫等號成立扣1分)
(ⅱ)設,由(ⅰ)知點處的切線為:
又過點,所以,又可理解為點在直線上
同理點在直線上,所以直線MN的方程為: --------------------------12分
所以原點O到直線MN的距離,----------13分
所以直線MN始終與圓相切. ------------------------14分
知識點:圓錐曲線與方程
題型:綜合題