已知點，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為座標原點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設過點的動直線與橢...

問題詳情：

已知點，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為座標原點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點的動直線與橢圓相交於兩點．當△的面積最大時，求直線的方程．

【回答】

解： (1)設F(c,0)，由條件知，＝，得c＝.

又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程為＋y2＝1.                        …… 4分

(2)當l⊥x軸時不合題意，故設l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

將y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.

當Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>時，

|PQ|＝|x1－x2|＝.

點O到直線PQ的距離d＝.

所以△OPQ的面積S△OPQ＝d·|PQ|＝.設＝t，則t>0，S△OPQ＝＝.

因為t＋≥4，若且唯若t＝2，即k＝±時等號成立，且滿足Δ>0.

所以，當△OPQ的面積最大時，l的方程為y＝x－2或y＝－x－2.            …… 12分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題