設橢圓的左焦點為，左頂點為，頂點為B.已知（為原點）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設經過點且斜率為的直線與橢圓...

問題詳情：

設橢圓的左焦點為，左頂點為，頂點為B.已知（為原點）.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設經過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.

【回答】

（Ⅰ）解：設橢圓的半焦距為，由已知有，又由，消去得，解得.

所以，橢圓的離心率為.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，， ，故橢圓方程為.由題意，，則直線的方程為.點P的座標滿足，消去並化簡，得到，解得，，代入到的方程，解得，.因為點在軸上方，所以.由圓心在直線上，可設.因為，且由（Ⅰ）知，故，解得.因為圓與軸相切，所以圓的半徑為2，又由圓與相切，得，可得.

所以，橢圓的方程為.

知識點：高考試題

題型：解答題