問題詳情:
已知橢圓的離心率,且橢圓過點.
(I)求橢圓的標準方程;
(II)已知點為橢圓的下頂點,為橢圓上與不重合的兩點,若直線與直線的斜率之和為,試判斷是否存在定點,使得直線恆過點,若存在,求出點的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
解析:(I)∵橢圓的離心率,∴,即,
∵點在橢圓上,∴,由解得,
∴橢圓的標準方程為.
(II)由(I)知,當直線的斜率存在時,設直線的方程為,
代入得,,∴,即.設,則,
∵直線與直線的斜率之和為,
∴ ,整理得,
∴直線的方程為,顯然直線經過定點.
當直線的斜率不存在時,設直線的方程為,
∵直線與直線的斜率之和為,設,則,
∴,解得
此時直線的方程為,顯然直線經過定點.
綜上,存在定點,使得直線恆過點.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題