問題詳情:
如圖,已知⊙A的圓心為點(3,0),拋物線y=ax2﹣x+c過點A,與⊙A交於B、C兩點,連接AB、AC,且AB⊥AC,B、C兩點的縱座標分別是2、1.
(1)請直接寫出點B的座標,並求a、c的值;
(2)直線y=kx+1經過點B,與x軸交於點D.點E(與點D不重合)在該直線上,且AD=AE,請判斷點E是否在此拋物線上,並説明理由;
(3)如果直線y=k1x﹣1與⊙A相切,請直接寫出滿足此條件的直線解析式.
【回答】
【解答】解:(1)過點B、C分別作x軸的垂線交於點R、S,
∵∠BAR+∠RAB=90°,∠RAB+∠CAS=90°,
∴∠RAB=∠CAR,又AB=AC,
∴RtBRA△≌Rt△ASC(AAS),
∴AS=BR=2,AR=CS=1,
故點B、C的座標分別為(2,2)、(5,1),
將點B、C座標代入拋物線y=ax2﹣x+c並解得:
a=,c=11,
故拋物線的表達式為:y=x2﹣x+11;
(2)將點B座標代入y=kx+1並解得:y=x+1,則點D(﹣2,0),
點A、B、C、D的座標分別為(3,0)、(2,2)、(5,1)、(﹣2,0),
則AB=,AD=5,
點E在直線BD上,則設E的座標為(x,x+1),
∵AD=AE,則52=(3﹣x)2+(x+1)2,
解得:x=﹣2或6(捨去﹣2),
故點E(6,4),
把x=6代入y=x2﹣x+11=4,
故點E在拋物線上;
(3)①當切點在x軸下方時,
設直線y=k1x﹣1與⊙A相切於點H,直線與x軸、y軸分別交於點K、G(0,﹣1),連接GA,
AH=AB=,GA=,
∵∠AHK=∠KOG=90°,∠HKA=∠HKA,∴△KOG∽△KHA,
∴,即:,
解得:KO=2或﹣(捨去﹣),
故點K(﹣2,0),
把點K、G座標代入y=k1x﹣1並解得:
直線的表達式為:y=﹣x﹣1;
②當切點在x軸上方時,
直線的表達式為:y=2x﹣1;
故滿足條件的直線解析式為:y=﹣x﹣1或y=2x﹣1.
知識點:各地中考
題型:綜合題