如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交於B、C兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點B、C，與x軸另一交點為...

問題詳情：

如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交於B、C兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點B、C，與x軸另一交點為A，頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上找一點E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P點座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交於B、C兩點，則點B、C的座標分別為（3，0）、（0，3），

將點B、C的座標代入二次函數表達式得：，解得：，

故函數的表達式為：y＝﹣x2+2x+3，

令y＝0，則x＝﹣1或3，故點A（﹣1，0）；

（2）如圖1，作點C關於x軸的對稱點C′，連接CD′交x軸於點E，則此時EC+ED為最小，

函數頂點座標為（1，4），點C′（0，﹣3），

將CD的座標代入一次函數表達式並解得：

直線CD的表達式為：y＝7x﹣3，

當y＝0時，x＝，

故點E（，x）；

（3）①當點P在x軸上方時，如下圖2，

∵OB＝OC＝3，則∠OCB＝45°＝∠APB，

過點B作BH⊥AH，設PH＝AH＝m，

則PB＝PA＝m，

由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，

16＝m2+（m﹣m）2，解得：m＝（負值已捨去），

則PB＝m＝1+，

則yP＝＝；

②當點P在x軸下方時，

則yP＝﹣（）；

故點P的座標為（1，）或（1，）．

知識點：各地中考

題型：綜合題