如圖，已知曲線C1：y=x3（x≥0）與曲線C2：y=﹣2x3+3x（x≥0）交於O，A，直線x=t（0＜t＜...

問題詳情：

如圖，已知曲線C1：y=x3（x≥0）與曲線C2：y=﹣2x3+3x（x≥0）交於O，A，直線x=t（0＜t＜1）與曲線C1，C2分別交於B，D．

（Ⅰ）寫出四邊形ABOD的面積S與t的函數關係式S=f（t）；

（Ⅱ）討論f（t）的單調*，並求f（t）的最大值．

【回答】

考點：

根據實際問題選擇函數類型；利用導數研究函數的單調*；利用導數求閉區間上函數的最值．

專題：

計算題；壓軸題．

分析：

（Ⅰ）先求出兩曲線的交點O、A座標，由直線x=t（0＜t＜1）與曲線C1，C2分別交於B，D表示出BD的長，利用四邊形ABOD的面積等於三角形ABO的面積+三角形OBD的面積；即可表示函數f（t）的關係式；

（Ⅱ）令f'（t）=0解得t，分區間討論f（t）的增減*得到哦f（t）的最大值及此時t的值即可．

解答：

解：（Ⅰ）由得交點O、A的座標分別是（0，0），（1，1）.，

即．

（Ⅱ）．令f'（t）=0解得．

當，從而f（t）在區間上是增函數；

當，從而f（t）在區間上是減函數．

所以當時，f（t）有最大值為．

點評：

考查學生根據實際問題選擇函數關係的能力，以及利用導數研究函數增減*，利用導數求閉區間上函數最值的能力．

知識點：導數及其應用

題型：解答題