如圖,已知c＜0,拋物線y=x2＋bx＋c與x軸交於A(x1,0),B(x2,0)兩點(x2＞x1),與y軸交...

問題詳情：

如圖,已知c＜0,拋物線y=x2＋bx＋c與x軸交於A(x1,0),B(x2,0)兩點(x2＞x1),與y軸交於點C. (Ⅰ)若x2=1,BC=,求函數y=x2＋bx＋c的最小值;  (Ⅱ)過點A作AP⊥BC,垂足為P(點P在線段BC上),AP交y軸於點M.若=2,求拋物線y=x2＋bx＋c頂點的縱座標隨橫座標變化的函數解析式,並直接寫出自變量的取值範圍.

第9題圖

【回答】

解:(Ⅰ)∵x2=1, ∴OB=1, ∵BC=, ∴OC==2, ∴C(0,－2), 把B(1,0),C(0,－2)代入y=x2＋bx＋c,得:0=1＋b－2, 解得:b=1, ∴拋物線的解析式為:y=x2＋x－2. 轉化為y=(x＋)2－; ∴函數y=x2＋bx＋c的最小值為－; (Ⅱ)∵∠OAM＋∠OBC=90°,∠OCB＋∠OBC=90°, ∴∠OAM=∠OCB,又∵∠AOM=∠BOC=90°, ∴△AOM∽△COB, ∴, ∴OC=•OB=2OB, ∵c＜0,x2＞0,∴－c=2x2,即x2=－. ∵x22＋bx2＋c=0,將x2=－代入化簡得:c=2b－4. 拋物線的解析式為:y=x2＋bx＋c,其頂點座標為(－,). 令x=－,則b=－2x. y==c－=2b－4－=－4x－4－x2, 滿足點P在線段BC上的x最小取值,使P、C、M重合, 此時C(0,c),B(－,0),A(2c,0), 根據根與係數的關係,對於x2＋bx＋c=0, －b=－＋2c=c, 由c=2b－4,解得c=－1, 所以b=－c=, x=－=－; 所以自變量x的取值範圍x≥－ ∴頂點的縱座標隨橫座標變化的函數解析式為:y=－x2－4x－4(x≥－).

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題