已知△ABC內接於⊙O，∠BAC的平分線交⊙O於點D，連接DB，DC．（1）如圖①，當∠BAC＝120°時，請...

問題詳情：

已知△ABC內接於⊙O，∠BAC的平分線交⊙O於點D，連接DB，DC．

（1）如圖①，當∠BAC＝120°時，請直接寫出線段AB，AC，AD之間滿足的等量關係式：　   　；

（2）如圖②，當∠BAC＝90°時，試探究線段AB，AC，AD之間滿足的等量關係，並*你的結論；

（3）如圖③，若BC＝5，BD＝4，求的值．

【回答】

【解答】解：（1）如圖①在AD上截取AE＝AB，連接BE，

∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分線交⊙O於點D，

∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，

∴△ABE和△BCD都是等邊三角形，

∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD，

∴△BED≌△BAC（SAS），

∴DE＝AC，

∴AD＝AE+DE＝AB+AC；

故*為：AB+AC＝AD．

（2）AB+AC＝AD．理由如下：

如圖②，延長AB至點M，使BM＝AC，連接DM，

∵四邊形ABDC內接於⊙O，

∴∠MBD＝∠ACD，

∵∠BAD＝∠CAD＝45°，

∴BD＝CD，

∴△MBD≌△ACD（SAS），

∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，

∴MD⊥AD．

∴AM＝，即AB+BM＝，

∴AB+AC＝；

（3）如圖③，延長AB至點N，使BN＝AC，連接DN，

∵四邊形ABDC內接於⊙O，

∴∠NBD＝∠ACD，

∵∠BAD＝∠CAD，

∴BD＝CD，

∴△NBD≌△ACD（SAS），

∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，

∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，

∴△NAD∽△CBD，

∴，

∴，

又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝5，BD＝4，

∴＝．

【點評】本題屬於圓的綜合題，考查了圓周角定理，全等三角形的判定與*質，相似三角形的判定和*質，等邊三角形的判定與*質等知識，解題的關鍵是正確作出輔助線解決問題．

知識點：各地中考

題型：解答題