如圖，AB＝AC，CD⊥AB於點D，點O是∠BAC的平分線上一點，⊙O與AB相切於點M，與CD相切於點N(1)...

問題詳情：

如圖，AB＝AC，CD⊥AB於點D，點O是∠BAC的平分線上一點，⊙O與AB相切於點M，與CD相切於點N

(1)求*：∠AOC＝135°；

(2)若NC＝3，BC＝2，求DM的長．

【回答】

（1）∠AOC＝135°；（2）DM＝1．

【解析】

(1)如圖，作OE⊥AC於E，連接OM，ON，由切線的*質可得OM⊥AB，ON⊥CD，由角平分線的*質可得OM=OE，從而得AC是⊙O的切線，繼而可得OC平分∠ACD，繼而通過推導即可*得∠AOC=135°；

(2)由切線長定理可得AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，設DM=DN=x，AM=AE=y，則有BD=3﹣x，在Rt△BDC中，利用勾股定理進行求解即可.

【詳解】

(1)如圖，作OE⊥AC於E，連接OM，ON，

∵⊙O與AB相切於點M，與CD相切於點N，

∴OM⊥AB，ON⊥CD，

∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，

∴OM=OE，

∴AC是⊙O的切線，

∵ON=OE，ON⊥CD，OE⊥AC，

∴OC平分∠ACD，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠BDC=90°，

∴∠AOC=180°﹣(∠DAC+∠ACD)=180°﹣45°=135°．

(2)∵AD，CD，AC是⊙O的切線，M，N，E是切點，

∴AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，設DM=DN=x，AM=AE=y，

∵AB=AC，

∴BD=3﹣x，

在Rt△BDC中，∵BC2=BD2+CD2，

∴20=(3﹣x)2+(3+x)2，

∵x>0，

∴x=1，

∴DM=1．

【點睛】

本題考查了切線的判定與*質，切線長定理知識，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運用切線的相關知識是解題的關鍵.

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題