已知函數f(x)＝ax＋x2－xlna－b(a，b∈R，a>1)，e是自然對數的底數．(1)試判斷函數f...

問題詳情：

已知函數f(x)＝ax＋x2－xln a－b(a，b∈R，a>1)，e是自然對數的底數．

(1)試判斷函數f(x)在區間(0，＋∞)上的單調*；

(2)當a＝e，b＝4時，求整數k的值，使得函數f(x)在區間(k，k＋1)上存在零點．

【回答】

解：(1)f′(x)＝axln a＋2x－ln a＝2x＋(ax－1)ln a.

∵a>1，∴當x∈(0，＋∞)時，ln a>0，

ax－1>0，

∴f′(x)>0，

∴函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．

(2)∵f(x)＝ex＋x2－x－4，∴f′(x)＝ex＋2x－1，∴f′(0)＝0，當x>0時，ex>1，

∴f′(x)>0，

∴f(x)是(0，＋∞)上的增函數；

同理，f(x)是(－∞，0)上的減函數．

又f(0)＝－3<0，f(1)＝e－4<0，

f(2)＝e2－2>0，當x>2時，f(x)>0，

∴當x>0時，函數f(x)的零點在(1,2)內，

∴k＝1滿足條件；

f(0)＝－3<0，f(－1)＝－2<0，

f(－2)＝＋2>0，當x<－2時，f(x)>0，

∴當x<0時，函數f(x)的零點在(－2，－1)內，∴k＝－2滿足條件．

綜上所述，k＝1或－2.

知識點：導數及其應用

題型：解答題