設曲線C的方程是y=x3-x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t、s單位長度後得曲線C1。（Ⅰ）寫出曲線C1的...

問題詳情：

設曲線C的方程是y=x3-x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t、s單位長度後得曲線C1。

（Ⅰ）寫出曲線C1的方程；

（Ⅱ）*曲線C與C1關於點A（t/2,s/2）對稱；

（Ⅲ）如果曲線C與C1有且僅有一個公共點，*s=t3/4-t且t≠0。

【回答】

（Ⅰ）解：曲線C1的方程為 y=(x-t)3-(x-t)+s。

（Ⅱ）*：在曲線C上任取一點B1(x1,y1)。設B2(x2,y2)是B1關於點A的對稱點，則有

x1+x2/2=t/2, y1+t2/2=s/2。 ∴x1=t-x2, y1=s-y2。

代入曲線C的方程，得x2和y2滿足方程： s-y2=(t-x2)3-(t-x2)，

即 y2=(x2-t)3-(x2-t)+s，可知點B2(x2,y2)在曲線C1上。

反過來，同樣可以*，在曲線C1上的點關於點A的對稱點在曲線C上。

因此，曲線C與C1關於點A對稱。

（Ⅲ）*：因為曲線C與C1有且公有一個公共點，

所以，方程組 y=x3-x, y=(x-t)3-(x-t)+s

有且公有一組解。 消去y，整理得

3tx2-3t2x+(t3-t-s)=0， 這個關於x的一元二次方程有且僅有一個根。

所以t≠0並且其根的判別式 △=9t4-12t(t3-t-s)=0。

即 t≠0, t(t3-4t-4s)=0。 ∴s=t3/4-t 且 t≠0。

知識點：圓錐曲線與方程

題型：計算題