如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交於A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半...

問題詳情：

如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交於A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸於點C和第一象限的點P，連接PB，得△PCB≌△BOA（O為座標原點）．若拋物線與x軸正半軸交點為點F，設M是點C，F間拋物線上的一點（包括端點），其橫座標為m．

（1）直接寫出點P的座標和拋物線的解析式；

（2）當m為何值時，△MAB面積S取得最小值和最大值？請説明理由；

（3）求滿足∠MPO=∠POA的點M的座標．

【回答】

解：（1）當y=c時，有c=﹣x2+bx+c，

解得：x1=0，x2=b，

∴點C的座標為（0，c），點P的座標為（b，c）．

∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交於A、B兩點，

∴點A的座標為（1，0），點B的座標為（0，3），

∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b．

∵△PCB≌△BOA，

∴BC=OA，CP=OB，

∴b=3，c=4，

∴點P的座標為（3，4），拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4．

（2）當y=0時，有﹣x2+3x+4=0，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴點F的座標為（4，0）．

過點M作ME∥y軸，交直線AB於點E，如圖1所示．

∵點M的橫座標為m（0≤m≤4），

∴點M的座標為（m，﹣m2+3m+4），點E的座標為（m，﹣3m+3），

∴ME=﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m2+6m+1，

∴S=OA•ME=﹣m2+3m+=﹣（m﹣3）2+5．

∵﹣＜0，0≤m≤4，

∴當m=0時，S取最小值，最小值為；當m=3時，S取最大值，最大值為5．

（3）①當點M在線段OP上方時，∵CP∥x軸，

∴當點C、M重合時，∠MPO=∠POA，

∴點M的座標為（0，4）；

②當點M在線段OP下方時，在x正半軸取點D，連接DP，使得DO=DP，此時∠DPO=∠POA．

設點D的座標為（n，0），則DO=n，DP=，

∴n2=（n﹣3）2+16，

解得：n=，

∴點D的座標為（，0）．

設直線PD的解析式為y=kx+a（k≠0），

將P（3，4）、D（，0）代入y=kx+a，

，解得：，

∴直線PD的解析式為y=﹣x+．

聯立直線PD及拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，．

∴點M的座標為（，）．

綜上所述：滿足∠MPO=∠POA的點M的座標為（0，4）或（，）．

知識點：各地中考

題型：綜合題