問題詳情:
設f(x)=-x3+x2+2ax.
(1)若f(x)在上存在單調遞增區間,求a的取值範圍;
(2)當0<a<2時,f(x)在[1,4]上的最小值為-,求f(x)在該區間上的最大值.
【回答】
解:(1)f′(x)=-x2+x+2a=-2++2a.
當x∈時,
f′(x)的最大值為f′=+2a.
令+2a>0,得a>-.
所以當a>-時,f(x)在上存在單調遞增區間,
即f(x)在上存在單調遞增區間時,a的取值範圍為.
(2)令f′(x)=0,得兩根,所以f′(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上單調遞減,
在(x1,x2)上單調遞增.
當0<a<2時,有x1<1<x2<4,
所以f(x)在[1,4]上的最大值為f(x2),
又f(4)-f(1)=-+6a<0,
即f(4)<f(1).
所以f(x)在[1,4]上的最小值為f(4)=8a-=-,得a=1,x2=2,
從而f(x)在[1,4]上的最大值為f(2)=.
知識點:函數的應用
題型:解答題