如圖，已知橢圓（）的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點，為頂點的三角形的周長為，一等軸雙曲線的頂點是該...

問題詳情：

如圖，已知橢圓（）的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點，為頂點的三角形的周長為，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異於頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為、和、．

（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；

（2）設直線、的斜率分別為、，*為定值；

（3）是否存在常數，使得恆成立？若存在，求的值；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為=，

得，又2a+2c=，

所以可解得，c=2，所以b2=a2﹣c2=4，

所以橢圓的標準方程為；

所以橢圓的焦點座標為（±2，0），

因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，

所以該雙曲線的標準方程為．                     .......2分

（Ⅱ）設點P（x0，y0），

則k1=，k2=，

∴k1•k2==，

又點P（x0，y0）在雙曲線上，

∴，即y02=x02﹣4，

∴k1•k2==1．                                         .........6分

（Ⅲ）假設存在常數λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恆成立，

則由（II）知k1•k2=1，

∴設直線AB的方程為y=k（x+2），則直線CD的方程為y=（x﹣2），

由方程組消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則由韋達定理得，，

∴AB==，

同理可得CD===，

∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，

∴λ==﹣==，

∴存在常數λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恆成立．         ......12分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題